贝叶斯推理

  1. 贝叶斯法则又被称为贝叶斯定理、贝叶斯规则，是指概率统计中的应用所观察到的现象对有关概率分布的主管判断（即先验概率）进行修正的标准方法。当分析样本大到接近总体数时，样本中事件发生的概率将接近于总体中事件发生的概率
  2. 贝叶斯统计中的两个基本概念是先验分布和后验分布：
    （1）先验分布。总体分布参数theta的一个概率分布。贝叶斯学派的根本观点，是认为在关于总体分布参数theta的任何统计推断问题中，除了使用样本所提供的信息外，还必须规定一个先验分布，它是在进行统计推断时不可缺少的一个要素。他们认为先验分布不必有客观的依据，可以部分地或完全地基于主观信念
    （2）后验分布。根据样本分布和未知参数的先验分布，用概率论中求条件概率分布的方法，求出的在样本已知下，未知参数的条件分布。因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。贝叶斯推断方法的关键是任何推断都必须且只需根据后验分布，而不能涉及样本分布。
  3. 贝叶斯公式：
    （1）P(A)是A的先验概率或边缘概率，称作“先验”是因为它不考虑B因素
    （2）P(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也称作A的后验概率
    （3）P(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也称作B的后验概率，这里称为似然度
    （4）P(B)是B的先验概率或边缘概率，这里称作标准化常量
    （5）P(B|A)/P(B)称作标准似然度
  4. 贝叶斯法则又可表述为：
    后验概率=（似然度*先验概率）/标准化常量=标准化似然度*先验概率
  5. P(A B)随着P(A)和P(B A)的增长而增长，随着P(B)的增长而减小。即如果B独立于A时，被观察到的可能性越大，那么B对A的支持度越小。

粒子滤波概述

  1. 粒子滤波基于蒙特卡洛方法，用后验概率中随机抽取的粒子集对目标概率密度函数进行近似
  2. 其核心思想是：用很多个粒子代表定位物体，每个粒子有权重ww代表该粒子位置的可信度。在prediction阶段，根据物体的控制信息uu（速度、转角等）与motion model预测出每个粒子下个时刻的位置；在update阶段，根据物体的观测值zz与地图值zlz_l计算出每个粒子的权重ww；在resample阶段，根据粒子的ww重新采样粒子。这样，粒子的位置会越来越趋近真实的物体位置
  3. 粒子滤波包含以下几个步骤：
    （1）初始化：用初始数据初始化粒子群的位置
    （2）prediction：根据motion model与物体的控制信息uu预测下个时刻粒子群中粒子的位置
    （3）update：根据物体的观测值zz与地图值zlz_l计算出每个粒子的权重ww
    （4）resample：根据粒子的ww重新采样粒子
    （5）滤波：将重采样后的粒子带入状态转移方程得到新的预测粒子，即步骤二
  4. 粒子滤波技术在非线性、非高斯系统表现出来的优越性，决定了它的应用范围非常广泛。另外，粒子滤波器的多模态处理能力，也是它应用广泛的原因之一。国际上，粒子滤波已被应用于各个领域。在经济学领域，它被应用在经济数据预测；在军事领域已经被应用于雷达跟踪空中飞行物，空对空、空对地的被动式跟踪；在交通管制领域它被应用在对车或人视频监控；它还用于机器人的全局定位
  5. 虽然粒子滤波算法可以作为解决SLAM问题的有效手段，但是该算法仍然存在着一些问题。其中最主要的问题是需要用大量的样本数量才能很好地近似系统的后验概率密度。机器人面临的环境越复杂，描述后验概率分布所需要的样本数量就越多，算法的复杂度就越高。因此，能够有效地减少样本数量的自适应采样策略是该算法的重点。另外，重采样阶段会造成样本有效性和多样性的损失，导致样本贫化现象。如何保持粒子的有效性和多样性，克服样本贫化，也是该算法研究重点